A sequência de Fibonacci está intimamente relacionada com a proporção áurea e ocorre frequentemente em várias facetas da vida humana. Da natureza ao espaço e à arte, a sequência de Fibonacci, que é discutida abaixo, é a fórmula a recordar!levá-lo-á numa viagem à sequência de Fibonacci na arte e responderá a perguntas como "porque é que a sequência de Fibonacci é tão importante?"

O que é a sequência de Fibonacci?

Cada objecto e cada pessoa no universo é composto por um desenho único, incluindo você mesmo, se considerar que não há duas pessoas com o mesmo ADN. Comummente referida como "código da natureza", a sequência de Fibonacci encontra-se no centro da maioria das facetas fundamentais da existência humana, incluindo a cultura popular.

Documentada pela primeira vez em 300 a.C. pelo matemático grego Euclides, a sequência de Fibonacci é uma fórmula matemática que sugere que cada número é igual à soma dos dois números que o precedem.

Numericamente, a sequência começa com os números inteiros 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, e assim por diante, continuando até ao infinito! A sequência começa com um zero, seguido de um, outro um e, no quarto dígito, a sequência começa por adicionar o último um aos dois para chegar a três.

Espiral de Fibonacci sobre quadrados ladrilhados; Romain, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Embora isto possa ser confuso para algumas pessoas no início, ao olhar para a representação visual da sequência de Fibonacci, irá reconhecê-la como a proporção áurea (também referida como a proporção divina). A proporção áurea (1:1,16), tal como visualizada pela curva dourada, é um símbolo antigo que possivelmente existe desde o início dos tempos.

A proporção áurea é utilizada principalmente no design e deriva da sequência de Fibonacci para produzir visuais estéticos através da proporção na arte, no design gráfico e na arquitectura.

Embora a origem exacta da sequência de Fibonacci ainda esteja a ser debatida, várias fontes afirmam que a fórmula foi possivelmente descoberta pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci muito depois de 1170 d.C. Por outro lado, o popular matemático britânico Keith Devlin afirma que existem descobertas que remontam a 200 a.C., consistindo em textos dos sistemas numéricos hindu-arábico e sânscritoescritos que são anteriores à suposta descoberta de Fibonacci.

Um texto publicado por Fibonacci, intitulado "Liber Abaci", também chamado "Livro de Cálculo", apresentava métodos de cálculo e controlo de finanças, para uso dos comerciantes, utilizando a sequência de Fibonacci.

Retrato de Leonardo Fibonacci, desenhado antes de 1905; Ver página do autor, Domínio público, via Wikimedia Commons

Leonardo de Pisa utilizou o exemplo dos coelhos: se juntarmos dois coelhos, uma fêmea e um macho, e deixarmos os coelhos reproduzirem-se, o resultado será o aparecimento de uma fêmea e de um macho na ninhada. Utilizando o macho e a fêmea da primeira ninhada, se esses coelhos se reproduzirem, teremos outra ninhada com outro conjunto de coelhos macho-fêmea. O ciclo repete-se eao fim de um ano, restam-lhe cerca de 144 coelhos.

A fórmula aplicada a esse resultado não é, obviamente, outra senão a sequência de Fibonacci.

Ilustração da sequência de Fibonacci na reprodução dos coelhos; Romain, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Para que é utilizada a sequência de Fibonacci?

Os números de Fibonacci parecem aparecer em múltiplas áreas da existência humana, desde sistemas orbitais e plantas a ramos de árvores, alcachofras e pinhas. A sequência de Fibonacci também pode estar no padrão em que os girassóis geram novas células para as sementes e até no nosso próprio sistema solar, onde a série de Fibonacci é utilizada para determinar as distâncias das luas de certos planetas como Saturno, Júpiter eUrano. Porque é que a sequência de Fibonacci é tão importante?

A importância da sequência de Fibonacci reside na própria razão pela qual é um tema de grande debate.

Entre as razões, a que vem à tona é o facto de esta fórmula, inicialmente pensada como exclusiva da matemática, se ter tornado uma fórmula com uma razão que aparece em elementos muito específicos da natureza; plantas, crescimento de sementes e o ouvido humano, podendo ser considerada uma fórmula universal.

A secção dourada na natureza; Tilnishok, CC BY 4.0, via Wikimedia Commons

A teoria de Fibonacci na aplicação das flores mostra que as pétalas de certas flores são iguais às dos diferentes números de Fibonacci. A teoria de Fibonacci também pode ser vista um pouco mais a fundo em relação às flores, couves-flores, ananases e bananas. Aqui referimo-nos à espiral de Fibonacci definida pela organização das sementes que crescem emcabeças de flores em forma de espiral.

A ordem de Fibonacci continua a ser um tema de grande debate, mas continua a ser muito fiável na sua base matemática.

Só as especulações e hipóteses retiradas do raciocínio por detrás da razão pela qual a sequência aparece em muitos aspectos vitais da vida humana é que se torna um assunto de debate. Para desenvolver ainda mais o aparecimento da ordem de Fibonacci, existe o ângulo de ouro. O ângulo de ouro sugere que o ângulo em que o novo crescimento ocorre a partir do crescimento anterior se situa a 222,5 graus e divide umCírculo de 360 graus de acordo com a secção áurea, que é 0,168...

Espiral dourada logarítmica; Jahobr, CC0, via Wikimedia Commons

A regra dos terços

A regra dos terços remete directamente para uma versão simplificada da proporção áurea, em que é possível uma abordagem semelhante para produzir uma imagem esteticamente agradável. Da fotografia à pintura, a regra dos terços é aplicada no contexto da composição. Para proceder à aplicação da regra dos terços, deve começar por dividir a sua imagem numa grelha de três por três e, em seguida, colocar os ponto focal da sua imagem ou pintando dois terços à esquerda ou à direita para uma imagem horizontal.

A regra dos terços pode tornar-se complexa, mas confie no seu olho para a simetria e não vai errar! Se tiver dúvidas, existem programas de software de edição fotográfica, como o Adobe Lightroom, que incluem uma sobreposição da proporção áurea como guia para o ajudar a aperfeiçoar a sua composição.

Aplicação da teoria de Fibonacci

Embora seja útil inspirar-se nos grandes mestres, também pode ser igualmente informativo analisar mais de perto algumas das formas criativas como os contemporâneos modernos utilizaram a sequência de Fibonacci ao longo da história da arte.

Aqui estão alguns exemplos da sequência de Fibonacci praticada na história da arte para inspirar a sua aventura na intersecção entre a matemática e a arte.

Exemplos da sequência de Fibonacci na arte

De acordo com os conhecimentos neurocientíficos, o olho humano consegue identificar a simetria em 0,05 segundos, o que sugere que a simetria, um aspecto da estética visual nas artes, é uma capacidade inerente a todos. É o desejo de um apelo visual harmonioso que tem informado muitas das grandes obras de arte actuais.

Secção dourada de um mosaico de Cristo de Matuliauskas em Marijampole, 1997; A Matuliauskas, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Doryphoros (c. 450 - 440 a.C.) por Policleto

Um exemplo de arte que chama a atenção para a simetria encontra-se numa escultura clássica em mármore de um portador de uma lança, intitulada Doryphoros O escultor grego Polykleitos, conhecido como "o Ancião", mostrou elegantemente o seu olho para a simetria, tal como se pode ver no portador da lança.

Pode dizer-se que a atenção de Poliquelito à noção de retratar a proporção perfeita do corpo humano era uma expressão de beleza.

Diagrama proporcional mostrando a "figura quadrada" de Policleto Doryphoros (c. 450-440 a.C.) Reconstrução de V. G. Vlasov, 1989; Polykleitos, Domínio público, via Wikimedia Commons

Doryphoros de Polykleitos é um dos exemplos mais sofisticados de arte que incorpora a ideia de matemática na representação da forma humana, utilizando a perfeição na composição como medida de "boa arte".

Esta escultura é também anterior ao "Homem Vitruviano" (c. 1490) de Leonardo da Vinci em quase mil anos, absolvendo assim a ideia de que da Vinci foi o primeiro e único indivíduo a impulsionar o "pensamento dourado".

O Homem Vitruviano (c. 1490) de Leonardo da Vinci; Leonardo da Vinci, Domínio público, via Wikimedia Commons

A Escola de Atenas (c. 1509 - 1511) de Rafael

Outro artista da Renascença italiana que utilizou a sequência de Fibonacci na arte foi Raffaello Sanzio da Urbino (1483-1520), mais conhecido como Rafael, cujas obras são uma referência directa à utilização da proporção áurea na pintura. Ao lado de artistas de prestígio como Leonardo da Vinci e Miguel Ângelo, Rafael produziu um fresco de composição requintada, A Escola de Atenas (1509-1511), situado nas Stanze di Raffaello do Vaticano.

Estrategicamente colocado no meio da pintura, encontra-se um rectângulo dourado, indicando uma potencial referência à utilização pelo artista da proporção áurea na composição.

A Escola de Atenas (1509-1511) de Rafael, fresco nas Salas Rafael, Palácio Apostólico, Cidade do Vaticano; Rafael, domínio público, via Wikimedia Commons

As obras de Rafael falam por si através do pormenor e da precisão com que pinta partes importantes do fresco. A Escola de Atenas é, sem dúvida, um excelente exemplo que realça a quase hiperfocalização dos grandes mestres na beleza e no perfeccionismo pós-humanismo.

Piet Mondrian e a espiral dourada

Famoso pelas suas pinturas abstractas, o artista holandês Pieter Cornelis Mondriaan (1872-1944) criou estas obras de arte coloridas que, à primeira vista, podem parecer rectângulos e quadrados aleatórios. Por esta altura, já deve ter adivinhado - Mondrian fez bem em incorporar a curva dourada nas suas obras, entre 1918 e 1938.

Um exemplo disso é a sua pintura de 1921, "Composição com grande plano vermelho, amarelo, preto, cinzento e azul".

Composição com grande plano vermelho, amarelo, preto, cinzento e azul (1921) de Piet Mondrian; Piet Mondrian, Domínio público, via Wikimedia Commons

Ivan Black e os Onda quadrada

O escultor londrino Ivan Black aplicou a sequência de Fibonacci à espectacular Onda quadrada Estas esculturas móveis, criadas em 2022, são designadas por obras de arte cinéticas, que integram as complexidades de um material altamente calibrado com "formas naturais", como o quadrado, para proporcionar uma experiência inovadora.

Tanta complexidade e precisão, como se espera de uma fusão entre o universo matemático e a expressão artística.

Outros exemplos da sequência de Fibonacci

Para além da arte, a espiral de Fibonacci também pode ser encontrada em muitas outras áreas de estudo. Leonardo da Vinci escreveu um livro sobre as proporções divinas da proporção áurea em várias disciplinas e, para além disso, a teoria de Fibonacci também pode ser aplicada à música, à arquitectura e até ao corpo humano!

A rã de Fibonacci (2010) de Alberto Croce; Alberto Croce (Paolo Cuzzoni, Adriano Freri, Massimo Parizzi, Luigi Sansone, Mila Vajani), CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

De Divina Proportione e Leonardo da Vinci

Colaborador assíduo de Leonardo da Vinci, Luca Pacioli escreveu um livro intitulado De Divina Proportione (A dupla aplicou os seus conhecimentos matemáticos e criativos ao alfabeto, à arquitectura, às estruturas e até às figuras geométricas.

Da Vinci é um dos principais pioneiros na incorporação da proporção divina em algumas das pinturas mais icónicas do mundo.

O triângulo dourado como visto em A Última Ceia de Leonardo da Vinci Com o triângulo de ouro e o corte de ouro, prescrevemos a largura e a altura do quadro e os contornos da sala, a largura e a altura e o lugar de Jesus e dos apóstolos" (1498); Marko Cavara, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Entre muitas das suas obras de arte contam-se A Última Ceia (1494-1498) e La Jaconde , mais conhecido como o Mona Lisa (1503-1506). Localizando as proporções áureas em A Última Ceia parece muito mais clara do que a do Mona Lisa O posicionamento da cabeça, do decote, do vestuário e do braço da Mona Lisa indica alguma utilização da proporção áurea.

Embora não seja claro, pode ainda dizer-se que a largura do seu rosto pode estar muito próxima da proporção áurea da largura da tela.

A espiral dourada, como se vê na obra de Leonardo da Vinci Mona Lisa ou La Jaconde (1503); Ellywa, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

A espiral de Fibonacci e a música

Para além das artes visuais aplicadas, a ordem de Fibonacci que ocorre encontra-se na música. Os números de Fibonacci podem ser encontrados numa das unidades melódicas principais, a oitava. Se estiver familiarizado com a oitava num piano, verá que a oitava consiste em 13 notas com cinco teclas pretas e oito brancas. A quinta nota numa escala é também a nota número oito de 13 notas, formando assim a oitava.O resultado é aproximadamente 0,61538... Coincidência ou ordem?

Mesmo um dos maiores talentos musicais da história da música, Wolfgang Amadeus Mozart, replicou a proporção áurea através do arranjo das suas sonatas para piano. A oitava, tal como referida em termos musicais, é uma componente fundamental da música conhecida como um "intervalo único" que informa a base da forma como se escreve e interpreta música.

Não é muito apropriado que a oitava, uma unidade musical fundamental, se correlacione com uma das fórmulas mais versáteis?

A proporção áurea em relação à arquitectura

A proporção áurea pode ser encontrada nas construções de importantes locais arquitectónicos em todo o mundo, incluindo o Partenon da Grécia e o edifício do Secretariado das Nações Unidas localizado em Nova Iorque. Diz-se mesmo que a proporção áurea foi aplicada na construção das Grandes Pirâmides de Gizé.

Outros locais onde a proporção áurea foi encontrada na arquitectura incluem o Taj Mahal, a Notre Dame e até a Torre Eiffel.

A proporção áurea em geral, quando aplicada à arquitectura, é particularmente útil para determinar uma proporção adequada mas equilibrada de janelas, portas, disposição e a relação das dimensões com a inclinação do telhado para desenhar um edifício ou uma casa atraente.

Um passo à frente: traços de Fibonacci no corpo humano

Já viu exemplos da sequência de Fibonacci aplicada na fotografia, na pintura, na escultura e até na música, mas será difícil encontrar vestígios da teoria de Fibonacci em si próprio? De modo algum. A espiral dourada pode ser facilmente identificada na forma do ouvido humano, a cóclea, o que é biologicamente intrigante se o mesmo puder ser encontrado em cabeças floridas.

Numericamente, tal como a distância é registada a nível planetário entre objectos espaciais, também a distância e os números de Fibonacci podem ser ligados à mão humana.

Com duas mãos, cada uma com cinco dedos divididos em três segmentos com dois nós para unir, todos eles números de Fibonacci. Se isso não for suficientemente convincente, o comprimento dos ossos encontrados no braço humano também equivale a números de Fibonacci.

Depois de analisar toda esta informação em torno da sequência de Fibonacci, da proporção áurea e do seu impacto nas disciplinas fundamentais, será que se pode dizer que a beleza está literalmente nos olhos de quem vê? Dado que a matemática é um assunto de grande seriedade e de factos comprovados, é incrível encontrar a sequência de Fibonacci aplicada na arte.A sequência de Fibonacci é um exemplo da vastidão de ideias que podem emergir da sequência de Fibonacci e, esperamos, inspirá-lo a aprofundar as possibilidades que a incorporação de diferentes disciplinas pode trazer à sua prática artística.

Veja a nossa história da Espiral de Fibonacci aqui!

Perguntas mais frequentes

Porque é que a sequência de Fibonacci é tão importante?

Há muitas razões para a importância da aplicação da sequência de Fibonacci. As principais razões incluem o seu impacto matemático e filosófico na Europa, que serviu de base a muitas obras de arte famosas que pode considerar cruciais para o discurso da história da arte. Fora do contexto da história da arte, a espiral de Fibonacci é também significativa como ferramenta e fórmula literal quefornece um método numérico para alargar a investigação a vários domínios científicos, como a mecânica quântica, a codificação, a criptografia e a física.

Para que é utilizada a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci é uma fórmula e uma referência matemática utilizada para calcular percentagens e rácios para utilização por comerciantes. Em alternativa, é utilizada em vários campos, como arte, design, música, design, finanças, arquitectura e até aplicações de engenharia e estruturas de dados informáticos.

Qual é a diferença entre a proporção áurea e a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci difere da razão áurea na medida em que a razão para a redução do intervalo não é constante. A razão áurea é o resultado da divisão de cada número da sequência de Fibonacci pelo número anterior. Matematicamente, F( n ) refere-se ao n-ésimo termo da sequência de Fibonacci e o quociente de F( n )/ F( n -1) aproxima-se do limite 1,618 com o aumento da n Este limite é chamado de proporção áurea.

Qual é a fórmula para calcular o valor da proporção áurea?

A fórmula para calcular o valor da proporção áurea é ϕ (phi) = (1+√5) / 2. Em contextos de design, a proporção áurea pode ser útil na concepção de logotipos, formas e layouts estéticos. Em termos de design, a proporção áurea pode ser calculada dividindo sua linha em duas partes, garantindo que a linha mais longa dividida pela linha mais curta seja igual à soma de ambas as partes dividida pela linha longa. Se você lutacom os pormenores, pode sempre recorrer a uma calculadora online da Proporção Áurea.

O que torna a Espiral de Fibonacci diferente da Espiral Áurea?

A espiral de Fibonacci é caracterizada por uma curvatura descontínua com um ângulo de raio do braço que varia ciclicamente, enquanto a espiral dourada é caracterizada pelo oposto, ou seja, uma curvatura contínua com um ângulo de raio do braço constante.

Quem criou o método da proporção áurea?

A primeira pessoa a descrever esta fórmula como a proporção áurea foi Martin Ohm, um matemático alemão que fundou a palavra ouro para a cozinha em 1835, actualmente conhecida como a secção dourada.